Desafío matemático: Un problema de grandes números
 

http://www.elpais.com/videos/socieda...pepusoc_2/Ves/

[B]Un problema de grandes números[/B]

José Manuel Bayod, catedrático de Análisis Matemático y Defensor Universitario de la Universidad de Cantabria, presenta el vigésimo octavo desafío con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Envía tu respuesta a las dos preguntas que formulamos antes de las 0.00 horas del martes 27 de septiembre (medianoche del lunes, hora peninsular española) a [email]problemamatematicas@gmail.com[/email], entre los acertantes sortearemos una biblioteca matemática como la que cada domingo se distribuye con EL PAÍS.

A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, añadimos el enunciado del problema por escrito.

El desafío de esta semana trata de operaciones con números muy grandes. Concretamente, vamos a tomar un número N que, escrito en base 10, tenga 100 cifras. El primero de sus 100 dígitos no puede ser 0, por lo demás no hay ninguna restricción.

A continuación separamos N en dos números: el formado por las 50 primeras cifras, que llamaremos A; y el formado por las 50 últimas cifras, que llamaremos B.

El desafío consiste en identificar todos los números N para los que se cumple que N=3AB. Como ejemplo, si en vez de trabajar con un número inicial de 100 cifras, lo hiciéramos con uno de dos, valdría el 24, ya que 24=3x2x4. En este caso, sería fácil hacer la comprobación en todos los números de dos cifras (entre el 10 y el 99) y descubriríamos que solo el 24 y el 15 cumplen la condición que se exige. Sin embargo, en el problema que planteamos la comprobación de todos los números no podría hacerse, ni siquiera por ordenador, en el plazo requerido. Es necesario, por tanto, un razonamiento matemático.

Así, la solución que nos enviéis tiene que contener dos cosas. La primera es una relación de los números N que cumplan la igualdad anterior (N=3AB), si es que hay alguno, y no hace falta que nos digáis cómo los habéis obtenido. La segunda es un razonamiento que demuestre que no hay más soluciones que las que nos mandáis, es decir, que esos son todos los números de cien cifras que cumplen la igualdad.

uff ... en estos momentos no estoy para estrujarme el coco :D :D .. se que tu lo harás y nos pondrás la solución :)

interesante problema, pero no creo que tenga mucho tiempo esta noche cuando llegue a casa, a ver si mientras curro se me ocurrre algo (de hecho ya tengo algo pensado) ;)


(by Kezu)

yo lo se, yo lo se, yo lo se....:cool:

un saludo.

vale, creo que ya lo tengo, y para cualquier longitud par de N
lo he probado para 6 dígitos, para 10 dígitos, para 20 dígitos y para 30 dígitos (la calculadora no da más) y es correcta mi solucíon

voy a escribirla formalmente y a la noche lo posteo, por si alguien más quiere participar



(by Kezu)

Vale vtx, por que no tengo ganas de calentarme el coco a la noche vere la solucion :p:p:p:p:p

[SPOILER]yo he llegao a esto...

x = nº de cifras / 2 ==> ejemplo 100 / 2 = 50

A = (10^x + 2) / 6
B = (10^x + 2) / 3

solo hay una solucion cuya forma es...

1................................................73................................................4[/SPOILER]

un saludo.

[QUOTE=SilverCrest][SPOILER]yo he llegao a esto...

x = nº de cifras / 2 ==> ejemplo 100 / 2 = 50

A = (10^x + 2) / 6
B = (10^x + 2) / 3

solo hay una solucion cuya forma es...

1................................................73................................................4

un saludo.[/SPOILER][/QUOTE]

Jopeta... así destrozáis al que quiera hacerlo por su cuenta...

PD.- Hay un caso especial que no tiene una única solución :) (oro parece plata no es... :p )

[QUOTE=kolmo7;4270604]Jopeta... así destrozáis al que quiera hacerlo por su cuenta...

PD.- Hay un caso especial que no tiene una única solución :) (oro parece plata no es... :p )[/QUOTE]

ya esta viendo lo vaga que es la gente :rolleyes:...estan esperando a que se ponga la solucion...:p, de todas formas, yo solo he puesto el final, que la gente lo desarrolle para ver como se llega a eso.

un saludo

[QUOTE=SilverCrest;4270580][SPOILER]yo he llegao a esto...

x = nº de cifras / 2 ==> ejemplo 100 / 2 = 50

A = (10^x + 2) / 6
B = (10^x + 2) / 3

solo hay una solucion cuya forma es...

1................................................73................................................4[/SPOILER]

un saludo.[/QUOTE]

coincide con mi solución, y el caso especial es cuando x=1, pero el mismo enunciado dice que hay dos soluciones en ese caso


(by Kezu)

¿Tú crees que van a hacer el desarrollo...? :cool: :p

[QUOTE=vtx20]coincide con mi solución, y [B]el caso especial es cuando x=1[/B], pero el mismo enunciado dice que hay dos soluciones en ese caso


(by Kezu)[/QUOTE]

Correcto... ¿y por qué? :D

Además, en la solución general, que creo que no se ha dicho explícitamente, una parte del número es el doble que la otra :) Eso mismo ocurre con una de las soluciones del caso n=1 pero no con la otra :eek: :p

[QUOTE=kolmo7;4270611]¿Tú crees que van a hacer el desarrollo...? :cool: :p[/QUOTE]

no, pero entonces no podran participar en el sorteo...:p

[QUOTE]Así, la solución que nos enviéis tiene que contener dos cosas. La primera es una relación de los números N que cumplan la igualdad anterior (N=3AB), si es que hay alguno, y no hace falta que nos digáis cómo los habéis obtenido. [B]La segunda es un razonamiento que demuestre que no hay más soluciones que las que nos mandáis, es decir, que esos son todos los números de cien cifras que cumplen la igualdad[/B].[/QUOTE]un saludo.

Mira que os gusta hablar de cosas complicadas, y no hablar de lo que realmente importa, por ejemplo que la Esteban se ha separado de Fran Alvarez... o de si el culo de la Johannson es realmente suyo o no...

Pero no, que si Matematicas, que si neutrinos... perdeis el tiempo en cada cosa...

salvame auxiliooooo,salud

Ya he enviado mi propuesta :)

:) :) :) Yo lo sé, yo lo sé :rolleyes: :p, aquí viene en vídeo el planteamiento:

[url]http://www.elpais.com/videos/sociedad/problema/grandes/numeros/elpepusoc/20110922elpepusoc_2/Ves/[/url]

:) :) :) ¿Ya se le ha escacharrado la calculadora, Sr. andorrilla? :rolleyes: :D :D

[QUOTE=Vientos]:) :) :) Yo lo sé, yo lo sé :rolleyes: :p, aquí viene en vídeo el planteamiento:

[url]http://www.elpais.com/videos/sociedad/problema/grandes/numeros/elpepusoc/20110922elpepusoc_2/Ves/[/url][/QUOTE]

¡¡¡ Anda, qué chulo, no lo había visto !!!

PD.- A ver si leemos un poquito más y dejamos de buscar por Google la solución... :rolleyes:

Ya que sabemos la solución...¿sabeis que al Dioni le han llevado preso estando en nosequé concurso de telecinco?:p




saludos

En Acorralados... lo he visto en Sávame mientras preparaba la solución del problema :p Además estaba el JJ con Milá en lo alto del plató hablando con los de abajo y la Terelu con problemas en el cuello.

Ha entrado una nueva colaboradora, Marta López, otra ex-GH, muy amiga de Kiko Hernández y colaboradora de la extinta Crónicas Marcianas del progre Javier Sardá. Nada más hablar se ha montado un pollo entre Kiko y Lidia, otro más entre la sucesión de pollos que hay montados desde hace algunos meses y por lo que los espectadores se han quejado a través de la defensora de la audiencia María Teresa Campos, madrísima de la torticolera Terelu.

Mientras tanto, Chiqui continuaba llorando porque no había perdido un solo kilo a pesar del régimen... aunque ella misma reconocía que no lo estaba siguiendo... :confuso: ¿entonces porqué te sorprendes... :confuso: ?

Cuando les llegue la solución a los de la Real Sociedad Matemática Española no se si se encontrarán con los rifirrafes entre los cuchillos de Acorralados y los follones entre colaboradores de EneInt y Sal, la quiniela o la lista de la compra...

¡coñoooooo, que se me hace tarde!
tengo que pasar a limpio lo que he escrito después de comer, escribir bien la notación matemática y desarrollar algunos puntos y apenas me queda una hora para mandar el email.

así que mañana pondré la solución y la podremos comparar con otras


(by Kezu)

[QUOTE=kolmo7;4270764]¡¡¡ Anda, qué chulo, no lo había visto !!!

PD.- [B]A ver si leemos un poquito más y dejamos de buscar por Google la solución... [/B]:rolleyes:[/QUOTE]

:) :) :) No la estoy buscando, toy esperando a ver si alguien me la manda al palomar :p:p:p

¡Uffffff!

la cantidad de tiempo que he perdido yo con problemas matemáticos o lógicos, incluso en la universidad, la noche antes de un examen de otra asignatura la dedicaba a calcular la trayectoria de un barco para pasar por encima de un submarino mas lento pero que no sabemos es que dirección rectilínea huye, usando ecuaciones diferenciales, y además ese problema no me servía para la asignatura de algebra.
Recuerdo en BUP cuando dimos las integrales que se me ocurrió "inventar" la fórmula para calcular la longuitud de un tramo de una función, un año más tarde ví esa fórmula en un libro de mi hermana, y me di cuenta que ya había sido descubierto hacía muchísimos años.

Ahora bien, jamás en mi vida he perdido un segundo con la Esteban, la Pantoja o similares.

bueno, aquí expongo mi solución, creo que no me ha salido muy sencilla, pero es que he tenido poco tiempo entre terminar de comer y volver al curro, y ni siquiera he cogido papel y lapiz, sino que iba escribiendo en el bloc de notas del PC, así que he tirado por la primera idea que me ha venido, sin esperar esa idea feliz que Martin Gardner llamaba ¡Ajá!
De hecho he tardado muchísimo más en pasarlo a limpio y por los pelos la he enviado antes de las 23:59

[spoiler]La solución es única y es el número 1666666666666666666666666666666666666666666666666733333333333333333333333333333333333333333333333334 y para demostrar que no hay mas números que cumplan los requisitos estipulados tengo que mostrar el método que he usado para averiguar ese número.

Estamos buscando un número N de 2n cifras, las primeras n cifras es A y las segundas n cifras es B
por tanto N=A•10ⁿ+B, y como sabemos que el primer dígito de A no puede ser cero, pero de B no tenemos ninguna limitación tendremos que 10^(n-1)<=A<=10ⁿ-1<10ⁿ y 0<=B<10ⁿ-1<10ⁿ
a su vez tenemos que N=3•A•B
por lo que tenemos que A•10ⁿ+B=3•A•B
Por lo que 10ⁿ+B/A=3•B y de ahí 10ⁿ=(3-1/A)•B
O también 10ⁿ•A/B+1=3•A ; 1=A•(3-10ⁿ/B) ; (3-10ⁿ/B)=1/A
Y como tenemos limitado el valor de A también tenemos limitado 1/A (cambiando el sentido de la desigualdad): 1/10^(n-1)>=1/A>1/10ⁿ
Por tanto nos queda que 1/10^(n-1)>=3-10ⁿ/B>1/10ⁿ
Multiplicando por -1 (y por tanto cambiando el sentido de la desigualdad) y sumando 3 tendremos que 3-1/10^(n-1)<=10ⁿ/B<3-1/10ⁿ y ahora invirtiendo cada término (1/x, por lo que volvemos a cambiar las desigualdades) y multiplicado por 10ⁿ obtendremos: 10ⁿ/(3-1/10^(n-1))>=B>10ⁿ/(3-1/10ⁿ)
por tanto sabemos que B es un número entero entre 10⁵⁰/(3-10^-49) y 10⁵⁰/(3-10^-50) y una vez tenemos esos números buscamos un A=1/(3-10⁵⁰/B) que también sea un número entero.
El problema es que la calculadora científica del Windows no trabaja con tantas cifras, pero como el dividendo de ambas partes de la desigualdad tiende rápidamente a 3 de manera ascendente (y la parte derecha más rápidamente que la izquierda) todo parece indicar que habrán pocos números entra ambas partes de la desigualdad y por tanto que B será el primer número natural mayor de 10ⁿ/3, que es [B](10ⁿ+2)/3[/B] y por tanto A=1/(3-10ⁿ/((10ⁿ+2)/3))=[B](10ⁿ+2)/6[/B]
Pero veamos algunos casos para ver si ente ambos lados de la desigualdad cabe más de un número entero.
Para n=1: 10/(3-1)>=B>10/(3-1/10) luego B está entre 5 (inclusive) y 3,45 (exclusive), por tanto B=4 o B=5, y eso nos da que A=2 o A=1, y como ambos son números enteros son soluciones válidas
Para n=2: 100/(3-1/10)>=B>100/(3-1/100), luego B está entre 34,48 y 33,45, por tanto solo puede haber un valor para B=34 que da un valor para A=17
Para n=3: B está entre 1000/(3-1/100) y 1000/(3-1/1000) 334,45 y 333,44 luego B=334 y A=167
Para n=5: B está entre 100000/(3-1/10000) y 100000/(3-1/100000) 33334,44 y 33333,44; B=33334 y A=16667
Para n=10 B está entre 3333333334,44 y 3333333333,44
Para n=20 B está entre 33333333333333333334,444444 y 33333333333333333333,444444
Para n=30 B está entre 333333333333333333333333333334,44 y 333333333333333333333333333333,44
Luego todo indica que B tiende a estar entre 333……334,4444 y 333……333,444 y por tanto el único número entero que hay es 333……334, y puesto que es par, y A es la mitad de B, A será también un número entero, y por tanto siempre tiene solución para cualquier n y además es única, salvo para el caso de n=1.
[/spoiler]

[QUOTE=kezuziyo;4270947]¡Uffffff!

la cantidad de tiempo que he perdido yo con problemas matemáticos o lógicos, incluso en la universidad, la noche antes de un examen de otra asignatura la dedicaba a calcular la trayectoria de un barco para pasar por encima de un submarino mas lento pero que no sabemos es que dirección rectilínea huye, usando ecuaciones diferenciales, y además ese problema no me servía para la asignatura de algebra.
Recuerdo en BUP cuando dimos las integrales que se me ocurrió "inventar" la fórmula para calcular la longuitud de un tramo de una función, un año más tarde ví esa fórmula en un libro de mi hermana, y me di cuenta que ya había sido descubierto hacía muchísimos años.

Ahora bien, jamás en mi vida he perdido un segundo con la Esteban, la Pantoja o similares.[/QUOTE]

A mi ambas cosas me gustan por igual :D:D Cada cosa a su tiempo... tiempo para pensar... y tiempo para dejar la mente en blanco... :D:D

yo para dejar la mente en blanco prefiero el alcohol y las drogas . . . . . . . . ¡ups! en que estaría yo pensado, quería decir la música clásica :p

Podíamos continuar con los desafíos que se sigan publicando... en cuanto vea el siguiente lo posteo por aquí.

PD.- Así nos entretenemos en los aburridos anuncios de Sálvame :D

[QUOTE=kolmo7;4271065]Podíamos continuar con los desafíos que se sigan publicando... en cuanto vea el siguiente lo posteo por aquí.

PD.- Así nos entretenemos en los aburridos anuncios de Sálvame :D[/QUOTE]

Y también se podría poner la solución que habéis mandado y así poder ver otras formas de encarar el problema ;)

[QUOTE=kolmo7;4271065]Podíamos continuar con los desafíos que se sigan publicando... en cuanto vea el siguiente lo posteo por aquí.

PD.- [B]Así nos entretenemos en los aburridos anuncios de Sálvame[/B] :D[/QUOTE]

:) :) :) ¿Por quién lo dirás? :rolleyes: :D :D :D

[QUOTE=kezuziyo]Y también se podría poner la solución que habéis mandado y así poder ver otras formas de encarar el problema ;)[/QUOTE]

Yo basaba la demostración en los divisores de 10^50... al final, el único que cumplía los requisitos del problema es el 5·10^49 (5 por 10 elevado a 49). De ahí obtenía el número A, que ya había puesto SilverCrest, y luego el B de la ecuación inicial (3AB=10^50A+B).

Tanto el A como el B, así obtenidos, tienen una forma de escribirse distinta a la decimal. Y para conseguir averiguar qué forma tenían pos lo hacía algo similar a tu razonamiento: miraba qué ocurría en números de dos cifras, luego de tres, de cuatro y así te dabas cuenta de qué pinta va teniendo y extiendes el resultado al caso que nos ocupa de 50 cifras.

Pero es que poner todo el razonamiento es mu engorroso de escribir... y me da mucha pereza... :D

[QUOTE=kolmo7;4271083]Yo basaba la demostración en los divisores de 10^50... al final, el único que cumplía los requisitos del problema es el 5·10^49 (5 por 10 elevado a 49). De ahí obtenía el número A, que ya había puesto SilverCrest, y luego el B de la ecuación inicial (3AB=10^50A+B).

Tanto el A como el B, así obtenidos, tienen una forma de escribirse distinta a la decimal. Y para conseguir averiguar qué forma tenían pos lo hacía algo similar a tu razonamiento: miraba qué ocurría en números de dos cifras, luego de tres, de cuatro y así te dabas cuenta de qué pinta va teniendo y extiendes el resultado al caso que nos ocupa de 50 cifras.

Pero es que poner todo el razonamiento es mu engorroso de escribir... y me da mucha pereza... :D[/QUOTE]

ya sé que es muy engorrorso de escribir, pero siempre puedes copiar el email que mandaste y luego pegarlo aquí.

a ver si a estas alturas te tenemos que explicar a usar el ordenador :p :p :p :p

Es que lo mandé en pdf... previamente había escrito todo en word porque las fórmulas quedan mucho mejor que en un txt... a ver si a estas alturas te tengo que explicar cuestiones de formato en la presentación de trabajos... :rolleyes:

[QUOTE=kolmo7;4271105]Es que lo mandé en pdf... previamente había escrito todo en word porque las fórmulas quedan mucho mejor que en un txt... a ver si a estas alturas te tengo que explicar cuestiones de formato en la presentación de trabajos... :rolleyes:[/QUOTE]

excusas, lo subes a Google Docs ;) :p

hace tiempo puse un manual de como hacerlo :D

Ya han publicado la solución y la ganadora:

[url]http://www.elpais.com/articulo/sociedad/numero/grande/unico/elpepusoc/20110927elpepusoc_12/Tes[/url]

El próximo jueves publican el siguiente desafío :)

dita sea, no he ganado :y) :y)

pero al menos mencionan el método que he empleado para obtener la solución

Yo tampoco... y me hace ilusión tener la enciclopedia... :(

Una enciclopedia DE PAPEL? :eek::eek::eek:

Aún existen?

[QUOTE=Voyager;4271502]Una enciclopedia DE PAPEL? :eek::eek::eek:

Aún existen?[/QUOTE]

y lo bien que funcionan si te quieres ir al baño y seguir leyéndola ;)