He vuelto a instalar M.Outlook y me pase esto. Antes de desinstalarlo me dejaba (como a tí) una copia en webmail de gmail pero no en Outlook. Daría por buena la solución tuya, si puedes aportar como tienes configurado el apartado Configuración> POP/IMAP de tu webmail de gmail quizás me sirva. Te lo agradecería.